1. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương pháp thế
- Cách giải hệ phương tình bằng phương pháp thế:
Bước 1: Từ một phương tình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho.
2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương pháp cộng đại số
- Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số: Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho.
3. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: Cách sử dụng máy tính cầm tay
- Cách tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay: Muốn tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay, chúng ta cần sử dụng loại máy có chức năng này (thường có phím MODE). Trước hết ta phải viết hệ phương trình cần tìm nghiệm dưới dạng:
Chẳng hạn để tìm nghiệm của hệ , ta viết dưới dạng 
Khi đó, ta có a1 = 2; b1 = 3; c1 = 4; a2 = 5; b2 = 6; c2 = 7. Lần lượt thực hiện các bước sau với máy tính:
4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Để giải bài tóa bằng cách lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện như sau:
+ Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn biểu thị hai đại lượng chưa biết và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng liên quan theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
+ Bước 2: Giải phương trình nhận được.
+ Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được ở bước 2 có thỏa mãn điều kiện của ẩn hay không, rồi trả lời bài toán.
5. Bài tập giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn toán 9
5.1 Bài tập sách toán 9 kết nối tri thức
Bài 1.6 trang 16 SGK toán 9/1 kết nối tri thức
a) Từ phương trình thứ nhất ta có x = y + 3. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
3(y + 3) - 4y = 2, tức là 3y + 9 - 4y = 2, suy ra -y = -7 hay y = 7.
Từ đó x = 7 + 3 = 10.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (10; 7).
b) Từ phương trình thứ hai ta có y = -4x + 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
7x - 3(-4x + 2) = 13, tức là 7x + 12x - 6 = 13, suy ra 19x = 19 hay x = 1.
Từ đó y = -4 . 1 + 2 = -2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (1; -2).
c) Từ phương trình thứ hai ta có x = 3y - 2. Thế vào phương trình thứ nhất, ta được
0,5(3y - 2) - 1,5y = 1, tức là 1,5y - 1 - 1,5y = 1, suy ra 0y = 2. (1)
Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 1.7 trang 16 SGK toán 9/1 kết nối tri thức
a) Cộng từng vế của hai phương trình ta được 3x + 2y + 2x - 2y = 20 hay 5x = 20, suy ra x = 4.
Thế x = 4 vào phương trình thứ nhất, ta được 3 . 4 + 2y = 6 hay 2y = -6, suy ra y = -3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (4; -3).
b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 10 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 9y = 27 hay y = 3.
Thế y = 3 vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta có 3x - 4 . 3 = 3 hay 3x = 15, suy ra x = 5.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (5; 3).
c) Chia hai vế của phương trình thứ nhất cho 2 và chia hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = 0. Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.
Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức x - 3y = -4
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: với x
Bài 1.8 trang 16 SGK toán 9/1 kết nối tri thức
a) Với m = -2 ta có hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 5y = -9 hay y = -9/5
Thế y = -9/5 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta có:
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
b) Với m = -3 ta có hệ phương trình:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 9, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = -3. (1)
Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Với m = 3 ta có hệ phương trình:
Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 9, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x + 0y = -1. (1)
Do không có giá trị nào của x và y thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Khóa học DUO dành riêng cho các em bậc THCS từ nhà trường VUIHOC, các em sẽ được học cùng các thầy cô TOP trường điểm quốc gia với kinh nghiệm giảng dạy phong phú. Đăng ký học thử để được trải nghiệm buổi học trực tuyến hoàn toàn miễn phí nhé!
5.2 Bài tập sách toán 9 chân trời sáng tạo
Bài 1 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
a)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; −3).
b)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (10; 7).
c)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (−3; 2).
d)
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là:
Bài 2 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
a) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3, ta được
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 0x = −1. Phương trình này vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 3x = 3. Suy ra x = 1.
Thay x = 1 vào phương trình thứ nhất của hệ đã cho, ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
c) Chia hai vế của phương trình thứ hai cho ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được
Thay vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
d)
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2x = −1. Suy ra x = -1/2.
Thay x = -1/2 vào phương trình thứ hai của hệ mới, ta được:
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
Bài 3 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(1; 2) nên
2 = a . 1 + b hay a + b = 2. (1)
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B(3; 8) nên
8 = a . 3 + b hay 3a + b = 8. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được -2a = -6. Suy ra a = 3.
Thay a = 3 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta được 3 + b = 2. Do đó b = -1.
Vậy a = 3; b = -1.
b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2; 1) nên
1 = a . 2 + b hay 2a + b = 1. (1)
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm B(4; -2) nên
-2 = a . 4 + b hay 4a + b = -2. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ (I), ta được -2a = 3. Suy ra a = -3/2.
Thay a = -2/3 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta được b = 4
Vậy a = -3/2; b = 4
Bài 4 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Gọi x, y lần lượt là số chi tiết máy trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được (x, y ∈ ℕ*).
Trong tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất được 800 chi tiết máy nên ta có x + y = 800. (1)
Trong tháng thứ hai, tổ một sản xuất được là:
x + 15%x = 115%x = 1,15x (chi tiết máy)
Trong tháng thứ hai, tổ hai sản xuất được là:
y + 20%y = 120%y = 1,2y (chi tiết máy).
Theo đề bài, ta có phương trình 1,15x + 1,2y = 945. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy trong tháng thứ nhất, tổ một sản xuất được 300 chi tiết máy, tổ hai sản xuất được 500 chi tiết máy.
Bài 5 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số áo trong một ngày mỗi tổ may được (x ∈ ℕ*, y ∈ ℕ*).
Số chiếc áo tổ thứ nhất may trong 7 ngày là: 7x (chiếc)
Số chiếc áo tổ thứ hai may trong 5 ngày là: 5y (chiếc)
Theo đề bài ta có phương trình 7x + 5y = 1540. (1)
Mỗi ngày tổ thứ hai may được nhiều hơn tổ thứ nhất 20 chiếc áo nên ta có
y - x = 20. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy trong một ngày, tổ một may được 120 chiếc áo và tổ hai may được 140 chiếc áo.
Bài 6 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
Gọi x, y (tấn thóc) lần lượt là năng suất lúa giống mới và năng suất lúa giống cũ trên 1 ha (x, y ∈ ℕ*).
Số tấn thóc khi cấy 60 ha lúa giống mới là 60x (tấn thóc).
Số tấn thóc khi cấy 40 ha lúa giống cũ là 40x (tấn thóc).
Trên một cánh đồng, người ta thu hoạch được tất cả 660 tấn thóc nên
60x + 40y = 660 hay 3x + 2y = 33. (1)
Với 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là 3 tấn nên ta có 4y - 3x = 3 hay - 3x + 4y = 3. (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 6y = 36. Suy ra y = 6 (thỏa mãn).
Thay y = 6 vào phương trình thứ nhất, ta được 3x + 2 . 6 = 33. Do đó x = 7 (thỏa mãn).
Vậy năng suất lúa giống mới trên 1 ha bằng 7 ha.
Bài 7 trang 21 SGK Toán 9/1 Chân trời sáng tạo
a) Gọi x, y lần lượt là hệ số của Ag và Cl2 thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học
xAg + yCl2 AgCl
Cân bằng số nguyên tử Ag, số nguyên tử Cl ở hai vế, ta được:
Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có:
Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được: 2Ag + yCl2 → 2AgCl
b) Gọi x, y lần lượt là hệ số của CO2 và C thỏa mãn cân bằng phương trình hóa học
xCO2 + yC → CO
Cân bằng số nguyên tử C, số nguyên tử O ở hai vế, ta được:
Đưa các hệ số tìm được vào phương trình hóa học, ta có:
Do các hệ số của phương trình hóa học phải là số nguyên nên nhân hai vế của phương trình hóa học với 2, ta được
CO2 + C → 2CO
5.3 Bài tập sách toán 9 cánh diều
Bài 1 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
a) Giải hệ phương trình:
Từ phương trình thứ nhất, ta có x = 2y (*)
Thế vào phương trình thứ hai, ta được: 3.2y + 2y = 8. (1)
Giải phương trình (1):
3.2y + 2y = 8 6y + 2y = 8
8y = 8 y = 1.
Thay y = 1 vào phương trình (*), ta có: x = 2.1 = 2.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).
b) Giải hệ phương trình:
Từ phương trình thứ hai, ta có:
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:
Giải phương trình (2):
0x = 0
Do đó phương trình (2) có vô số nghiệm x .
Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm
c) Giải hệ phương trình:
Từ phương trình thứ hai, ta có: y = 2x
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được: 4x - 2.2x = 1. (3)
Giải phương trình (3):
4x - 2.2x = 1 4x - 4x = 1
0x = 1.
Do đó phương trình (3) vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 2 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
a) Giải phương trình:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta nhận được phương trình: 3x = 6. (1)
Giải phương trình (1):
3x = 6 x = 2.
Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta có: 2 - y = 2, tức là y = 0.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 0).
b) Giải phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được hệ phương trình sau:
Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta nhận được phương trình:
5y - (-6y) = 11. (2)
Giải phương trình (2):
5y - (-6y) = 11
5y + 6y = 11 11y = 11
y = 1.
Thay y = 1 vào phương trình 2x - 3y = 0, ta có: 2x - 3.1 = 0. (3)
Giải phương trình (3):
2x - 3.1 = 0 2x - 3 = 0
2x = 3 x = 3/2
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (3/2; 1)
Bài 3 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm B(-2; -11) thì x = -2 và y = -11 thỏa mãn hàm số y = ax + b, nên ta có: -11 = a.(-2) + b, hay -2a + b = -11.
Ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta được phương trình: 3a = 9. (1)
Giải phương trình (1):
3a = 9 a = 3.
Thay a = 3 vào phương trình thứ nhất của hệ trên, ta có: 3 + b = -2. (2)
Giải phương trình (2):
3 + b = -2 b = -5.
Vậy a = 3 và b = -5.
Bài 4 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Tốc độ của ca nô khi đi ngược dòng là x - y (km/h).
Ca nô đi xuôi dòng quãng đường 42 km hết 1 giờ 30 phút (1,5 giờ) nên ta có phương trình: 1,5(x + y) = 42, hay x + y = 28.
Ca nô đi ngược dòng quãng đường 42 km hết 2 giờ 6 phút (2,1 giờ) nên ta có phương trình: 2,1(x - y) = 42, hay x - y = 20.
Ta có hệ phương trình:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được phương trình: 2x = 48. (1)
Giải phương trình (1):
2x = 48 x = 24.
Thay x = 24 vào phương trình thứ nhất của hệ trên, ta có: 24 + y = 28. (2)
Giải phương trình (2):
24 + y = 28 y = 4.
Ta thấy x = 24 và y = 4 thỏa mãn điều kiện x > y > 0.
Vậy tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là 24 km/h và tốc độ của dòng nước là 4 km/h.
Bài 5 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Gọi số tiền bác Phương đã đầu tư cho khoản thứ nhất và thứ hai lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 < x < 800, 0 < y < 800).
Theo bài, tổng số tiền cho hai khoản đầu tư là 800 triệu đồng nên ta có phương trình:
x + y = 800.
Số tiền lãi thu được mỗi năm từ khoản đầu tư thứ nhất là x.6% = 0,06x (triệu đồng).
Số tiền lãi thu được mỗi năm từ khoản đầu tư thứ hai là x.8% = 0,08y (triệu đồng).
Theo bài, tổng số tiền lãi thu được là 54 triệu đồng nên ta có phương trình:
0,06x + 0,08y = 54, hay 3x + 4y = 2700.
Ta có hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được hệ phương trình sau:
Trừ hai vế của hai phương trình trên, ta nhận được: x = 500.
Thay x = 500 vào phương trình x + y = 800, ta có 500 + y = 800. (1)
Giải phương trình (1):
500 + y = 800
y = 300.
Ta thấy x = 500 và y = 300 thỏa mãn điều kiện.
Vậy số tiền bác Phương đã đầu tư cho khoản thứ nhất là 500 triệu đồng và cho khoản thứ hai là 300 triệu đồng.
Bài 6 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 < x < 25,4; 0 < y < 25,4).
Theo bài, giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có: x + y = 25,4.
Do tủ lạnh được giảm 40% giá niêm yết nên giá của chiếc tủ lạnh sau giảm giá là x.(100% - 40%) = x.60% = 0,6x (triệu đồng).
Do máy giặt được giảm 25% giá niêm yết nên giá của chiếc máy lạnh sau giảm giá là y.(100% - 25%) = y.75% = 0,75y (triệu đồng).
Theo bài, cô Liên đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có phương trình: 0,6x + 0,75y = 16,77 hay 60x + 75y = 1677.
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 75, ta nhận được hệ phương trình sau:
Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta có: 15x = 228. (1)
Giải phương trình (1):
15x = 228 x = 15,2 (thỏa mãn điều kiện).
Thay x = 15,2 vào phương trình x + y = 25,4, ta được: 15,2 + y = 25,4. (2)
Giải phương trình (2):
15,2 + y = 25,4 y = 10,2 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là 10,2 triệu đồng.
Bài 7 trang 25 SGK Toán 9/1 Cánh diều
Ta cân bằng phương trình hóa học theo định luật bảo toàn nguyên tố, số nguyên tử mỗi nguyên tố ở hai vế phương trình hóa học bằng nhau.
a) Theo định luật bảo toàn nguyên tố:
⦁ đối với Fe: 2 = x;
⦁ đối với Cl: 2y = 3x.
Ta có hệ phương trình:
Thay x = 2 vào phương trình thứ hai, ta được: 2y = 3.2. (1)
Giải phương trình (1):
2y = 3.2 2y = 6 y = 3.
Khi đó, ta cân bằng được phương trình hóa học đã cho như sau:
2Fe + 3Cl2 → 2FeCl3.
b) Theo định luật bảo toàn nguyên tố:
⦁ đối với Fe: x + 1 = y;
⦁ đối với Cl: 3x = 2y.
Ta có hệ phương trình:
Thế y = x + 1 vào phương trình thứ hai, ta được: 3x = 2(x + 1). (2)
Giải phương trình (2):
3x = 2(x + 1) 3x = 2x + 2 x = 2.
Thay x = 2 vào phương trình thứ nhất, ta có y = 2 + 1 = 3.
Khi đó, ta cân bằng được phương trình hóa học đã cho như sau:
2FeCl3 + Fe → 3FeCl2.
Trên đây là bài học Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!
>> Mời bạn tham khảo thêm: Phương trình bậc nhất hai ẩn
