1. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình toán 9
1.1 Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình
- Bước 1: Lập hệ phương trình
- Chọn ẩn số (thường chọn 2 ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Bước 2: Giải hệ phương trình
- Bước 3: Kiểm tra các nghiệm tìm được của hệ phương trình xem có thỏa mãn điều kiện không rồi kết luận.
1.2 Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bài 1.15 trang 23 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Gọi số cần tìm là 
(a, b ; 0 < a < b < 10) .
Tổng của hai chữ số bằng 12 nên ta có a + b = 12. (1)
Số ban đầu là .
Khi đổi chỗ hai chữ số thì ta được số mới là .
Số mới lớn hơn số cũ 36 đơn vị nên ta có phương trình
10a + b + 36 = 10b + a hay 9b - 9a = 36,
=> b - a = 4. (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được 2a = 8 hay a = 4 (thỏa mãn điều kiện).
Thay a = 4 vào phương trình thứ nhất của hệ, ta có
4 + b = 12, => b = 12 - 4 = 8 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số cần tìm là 48.
Bài 1.16 trang 23 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Gọi số thứ nhất bị mờ là x, số thứ hai bị mờ là y (x > 0, y > 0).
Số lần bắn là 100 nên ta có: 25 + 42 + x + 15 + y = 100 hay x + y = 18. (1)
Điểm số trung bình của một vận động viên bắn súng sau 100 lần bắn là 8,69 điểm nên ta có phương trình:
10 . 25 + 9 . 42 + 8x + 7 . 15 + 6y = 100 . 8,69
250 + 378 + 8x + 105 + 6y = 869
8x + 6y = 136
4x + 3y = 68. (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được -x = -14 hay x = 14 (thỏa mãn điều kiện).
Thế x = 14 vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có 14 + y = 18 suy ra y = 4 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy số thứ nhất bị mờ là 14, số thứ hai bị mờ là 4.
Bài 1.17 trang 23 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Gọi số thóc của hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái lần lượt là x, y (tấn thóc) (x, y > 0).
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 3600 tấn thóc nên ta có phương trình x + y = 3600 (tấn thóc).
Năm nay đội thứ nhất làm vượt mức 15% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 115%x = 1,15x (tấn thóc).
Đội thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái nên năm nay đội sẽ thu hoạch được 112%y = 1,12y (tấn thóc).
Nên năm nay hai đội thu hoạch được 4 095 tấn thóc, ta có phương trình
1,15x + 1,12y = 4095.
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3600 - x. Thế vào phương trình thứ hai, ta được
1,15x + 1,12(3600 - x) = 4095, tức là 0,03x + 4032 = 4095.
=> 0,03x = 63 hay x = 2100 (thỏa mãn điều kiện).
=> y = 3600 - 2100 = 2415 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy năm nay đội thứ nhất thu hoạch được 2415 tấn thóc, đội thứ hai thu hoạch được 1680 tấn thóc.
Bài 1.18 trang 23 sgk toán 9/1 kết nối tri thức
Gọi x (giờ) và y (giờ) lần lượt là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai một mình hoàn thành công việc. (x > 16, y > 16).
Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được (công việc).
Trong 1 giờ, người thứ hai làm được (công việc).
Trong 1 giờ, cả hai người làm được (công việc).
Cả hai người cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong 16 giờ nên ta có phương trình: (1)
Người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì hoàn thành 25% công việc (hay 1/4 công việc) nên ta có phương trình:
(2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
Đặt . Khi đó hệ phương trình trở thành:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được .
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có .
Với
Với
Vậy nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc sau 24 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 48 giờ.
Khóa học trực tuyến ôn thi vào 10 mới nhất của nhà trường VUIHOC giúp các em vững bước vào 10. Đăng ký ngay để nhận tài liệu ôn thi được biên soạn bởi thầy cô đến từ trường chuyên TOP 5 toàn quốc.
2. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
2.1 Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Bước 1: Lập phương trình
+ Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
+ Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
- Bước 2: Giải phương trình
- Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện và kết luận.
2.2 Bài tập giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bài 6.28 trang 27 sgk toán 9/2 kết nối tri thức
Gọi x (m) là chiều rộng của hình chữ nhật (x > 0).
Chiều dài của hình chữ nhật là (m).
Chiều rộng tăng 3 m nên chiều rộng sau tăng là: x + 3 (m).
Chiều dài giảm 4 m nên chiều dài sau giảm là: (m).
Theo bài, sau khi thay đổi kích thước thì diện tích mảnh đất không đổi, nên ta có phương trình:
Ta có = 32 - 4.1.(-270) = 1089 và .
=> Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
( loại) ;
Vậy chiều rộng của mảnh đất là 15 (m) và chiều dài của mảnh đất là 24 (m).
Bài 6.29 trang 27 sgk toán 9/2 kết nối tri thức
Gọi x là tốc độ trung bình tăng dân số của thành phố (x được cho dưới dạng số thập phân, x > 0).
Số dân của thành phố sau năm thứ nhất là: 1200000.(1 + x) (người).
Số dân của thành phố sau năm thứ hai là:
1200000.(1 + x).(1 + x) = 1200000.(1 + x)2 (người).
Theo bài, ta có phương trình:
1200000.(1 + x)2 = 1452000
(1 + x)2 = 1,21
1 + x = 1,1 (do x > 0).
x = 0,1 (thỏa mãn).
Vậy tốc độ gia tăng dân số của thành phố đó là 0,1 = 10%.
Bài 6.30 trang 27 sgk toán 9/2 kết nối tri thức
Gọi x (cm) là số centimét mà chiều dài và chiều rộng bị giảm (0 < x < 7).
Chiều dài và chiều rộng thanh sô cô la sau giảm lần lượt là: 12 - x (cm) và 7 - x (cm).
Thể tích của thanh sô cô la mới là: (12 - x)(7 - x).3 (cm3).
Theo bài, thể tích thanh sô cô la giảm 10% so với ban đầu nên thể tích của thanh sô cô la mới là:
(12.7.3).(100% - 10%) = 252 . 90% = 226,8 (cm3).
Khi đó, ta có phương trình:
(12 - x)(7 - x).3 = 226,8
(12 - x)(21 - 3x) = 226,8
252 - 36x - 21x + 3x2 - 226,8 = 0
3x2 - 57x + 25,2 = 0
15x2 - 285x + 126 = 0
5x2 - 95x + 42 = 0.
Ta có = (-95)2 - 4.5.42 = 8185 > 0.
Suy ra phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
(Loại) ; (Tm).
Vậy chiều dài và chiều rộng thanh sô cô la mới lần lượt là: 12 - 0,45 = 11,55 (cm) và 7 - 0,45 = 6,55 (cm).
Bài 6.31 trang 27 sgk toán 9/2 kết nối tri thức
Gọi x (km/h) là vận tốc máy bay khi bay từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh (x > 0).
Vận tốc của máy bay khi bay từ Thành phố Hồ Chí Minh về Hà Nội là x + 100 (km/h).
Thời gian bay từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh là:
Thời gian bay từ Thành phố Hồ Chí Minh về Hà Nội là:
Đổi 96 phút = 1 giờ 36 phút = 1,6 (giờ).
Theo bài, tổng thời gian của cả hành trình, kể từ khi xuất phát từ Hà Nội đến khi quay về Hà Nội là 6 giờ và máy bay có nghỉ tại Thành phố Hồ Chí Minh 96 phút nên thời gian máy bay bay cả đi và về là: 6 - 1,6 = 4,4 (giờ).
Khi đó, ta có phương trình:
1200(x + 100) + 1200x = 4,4x(x + 100)
1200x + 120000 + 1200x = 4,4x2 + 440x
4,4x2 - 1960x - 120000 = 0
11x - 4900x - 300000 = 0.
Ta có ’ = (-2 450)2 - 11.(-300000) = 9302500 > 0;
=> Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
; (loại)
Vậy vận tốc máy bay khi bay từ Hà Nội vào Thành phố Hồ Chí Minh là 500 km/h.
Bài 6.32 trang 27 sgk toán 9/2 kết nối tri thức
Gọi x (km/h) là vận tốc của ô tô khách (x > 0).
Vận tốc của ô tô con là x + 20 (km/h).
Thời gian ô tô khách đi là: .
Thời gian ô tô con đi là:
Đổi 30 phút = 0,5 giờ.
Theo bài, xe ô tô con xuất phát sau xe ô tô khách 30 phút nên ta có phương trình:
120(x + 20) - 120x = 0,5x(x + 20)
120x + 2 400 - 120x = 0,5x2 + 10x
0,5x2 + 10x - 2400 = 0
x2 + 20x - 4800 = 0.
Ta có ’ = 102 - 1.(-4800) = 4 900 > 0 và .
=> Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt:
(Loại)
Vậy vận tốc ô tô khách là 60 (km/h) và vận tốc của ô tô con là: 60 + 20 = 80 (km/h).
Bài 6.33 trang 27 sgk toán 9/2 kết nối tri thức
Gọi x (chiếc) là số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch (x , x > 0).
Số áo thực tế xưởng đã may trong 1 ngày là x + 10 (chiếc).
Thời gian may 1 500 chiếc áo là: (ngày).
Thời gian may 1 320 chiếc áo là: (ngày).
Theo bài, xưởng hoàn thành sớm 3 ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:
1500(x + 10) - 1320x = 3x(x + 10)
1500x + 15000 - 1320x = 3x2 + 30x
3x2 - 150x - 15000 = 0
x2 - 50x - 5000 = 0.
Ta có ’ = (-25)2 - 1.(-5 000) = 5 625 và .
=> Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
(loại)
Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng may 100 chiếc áo.
3. Lưu ý một số lỗi có thể gặp khi giải bài toán bằng cách lập phương trình
Khi giải bài toán bằng cách lập phương trình, để không bị mất điểm, các em cần lưu ý đến một số lỗi thường gặp khi giải các dạng toán này:
a. Lỗi thiếu điều kiện cho ẩn: Học sinh thường quên đặt điều kiện cho ẩn dẫn đến việc kết luận cho bài toán thường bị sai (do không loại trừ giá trị không thỏa mãn điều kiện). Để khắc phục lỗi này, các em nên tập thói quen xác định điều kiện của ẩn ngay từ đầu hoặc khi vừa lập phương trình xong.
b. Lỗi sai không đổi dấu khi chuyển vế: Đây cũng là lỗi khá thường gặp ở nhiều bạn học sinh thiếu tính cẩn thận. Với bài toán giải phương trình, chuyển vế các phép tính thường xuyên được thực hiện nên các em cần chú ý đổi dấu khi chuyển vế.
c. Lỗi không kết luận: Phần kết luận cũng được tính điểm, vì vậy, khi giải xong phương trình các em cần kết luận nghiệm đúng (dựa trên điều kiện đặt cho ẩn).
Trên đây là bài học Hướng dẫn giải bài toán bằng cách lập phương trình toán 9 chương trình mới. Theo dõi các bài học mới nhất của VUIHOC trên trang web vuihoc.vn và đừng quên để lại thông tin để được tư vấn lộ trình học toán THCS hiệu quả nhé!
>> Mời bạn tham khảo thêm:
- Hàm số y = ax² (a ≠ 0)
- Phương trình bậc hai một ẩn
- Định lí Viète
