Giải bài 11 Tích vô hướng của hai vectơ

1. GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Hoạt động 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$. Hãy tìm số đo các góc giữa $overrightarrow{BC}$ và $overrightarrow{BD}$, $overrightarrow{DA}$ và $overrightarrow{DB}$.

Hướng dẫn giải:

Số đo góc giữa $overrightarrow{BC}$ và $overrightarrow{BD}$ là số đo góc CBD, có số đo: 30o

Số đo góc giữa $overrightarrow{DA}$ và $overrightarrow{DB}$ là số đo góc BDA, có số đo: 80o - 30o = 50o.

(Vì trong tam giác BCD, góc ngoài bằng tổng hai góc trong không kề với nó).

Câu hỏi 1: Khi nào thì góc giữa hai vecto bằng 0o , bằng 180o?

Hướng dẫn giải:

• Góc giữa hai vecto bằng 0o khi hai vecto cùng hướng.
• Góc giữa hai vecto bằng 180o khi hai vecto ngược hướng.

Luyện tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính ($overrightarrow{AB},overrightarrow{BC}$).

Hướng dẫn giải:

Dựng vecto $overrightarrow{AD}=overrightarrow{BC}$

=> ($overrightarrow{AB},overrightarrow{BC}$) = ($overrightarrow{AB},overrightarrow{AD}$)= $widehat{BAD}$

Do AD // BC nên ta có: $widehat{BAD}=180^{o}-widehat{ABD}=180^{o}- 60^{o}=120^{o}$.

Vậy ($overrightarrow{AB},overrightarrow{BC}$) = $120^{o}$.

2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu hỏi 2: Khi nào thì tích vô hướng của hai vecto $overrightarrow{u}, overrightarrow{v}$ là một số dương? Là một số âm?

Hướng dẫn giải:

• Tích vô hướng của hai vecto $overrightarrow{u}, overrightarrow{v}$ là một số dương khi góc giữa hai vecto $overrightarrow{u}, overrightarrow{v}$ là góc nhỏ hơn $90^{o}$.
• Tích vô hướng của hai vecto $overrightarrow{u}, overrightarrow{v}$ là một số dương khi góc giữa hai vecto $overrightarrow{u}, overrightarrow{v}$ là góc lớn hơn $90^{o}$.

Câu hỏi 3: Khi nào thì $left ( overrightarrow{u}.overrightarrow{v} right )^{2}=overrightarrow{u}^{2}.overrightarrow{v}^{2}$?

Hướng dẫn giải:

Ta có: $left ( overrightarrow{u}.overrightarrow{v} right )^{2}=left ( |overrightarrow{u}|.|overrightarrow{v}|.cos(overrightarrow{u},overrightarrow{v})right )=overrightarrow{u}^{2}.overrightarrow{v}^{2}.cos^{2}(overrightarrow{u},overrightarrow{v})$

Nên $left ( overrightarrow{u}.overrightarrow{v} right )^{2}=overrightarrow{u}^{2}.overrightarrow{v}^{2}$ thì $cos(overrightarrow{u},overrightarrow{v})=0$, hay là $overrightarrow{u},overrightarrow{v}$ cùng hướng.

Luyện tập 2: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$ theo a, b,c.

Hướng dẫn giải:

$overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}= AB.AC.cosBAC$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosA=frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}=frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2.c.b}$

Suy ra: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}$= $b.c.frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2.c.b}$

=$frac{c^{2}+b^{2}-a^{2}}{2}$

3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG

Hoạt động 2: Cho hai vecto cùng phương $overrightarrow{u}=(x; y)$ và $overrightarrow{v}=(kx; ky)$. Hãy kiểm tra công thức $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=k(x^{2}+y^{2})$ theo từng trường hợp sau:

a. $overrightarrow{u}= overrightarrow{0}$

b. $overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ và $kgeq 0$

c. $overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ và k<0.

Hướng dẫn giải:

Do hai vecto $overrightarrow{u}$ và $overrightarrow{v}$ cùng phương nên: $(overrightarrow{u},overrightarrow{v})= 0^{o}$

Suy ra: $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=|overrightarrow{u}|.|overrightarrow{v}|$

= $sqrt{x^{2}+y^{2}}.sqrt{(kx)^{2}+(ky)^{2}}$= $k(x^{2}+y^{2})$.

a. Nếu $overrightarrow{u}= overrightarrow{0}$ thì x = y = 0.

Suy ra: $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=0$

b. Nếu $overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ và $kgeq 0$ thì $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=k(x^{2}+y^{2}) geq 0$.

c. Nếu $overrightarrow{u} neq overrightarrow{0}$ và $kgeq 0$ thì $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}=k(x^{2}+y^{2})$ < 0.

Hoạt động 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai vecto không cùng phương $overrightarrow{u}=(x; y)$ và $overrightarrow{v}=(x'; y')$.

a. Xác định tọa độ của các điểm A và B sao cho $overrightarrow{OA}=overrightarrow{u}$, $overrightarrow{OB}=overrightarrow{v}$.

b. Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.

c. Tính $overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}$ theo tọa độ của A, B.

Hướng dẫn giải:

a. Tọa độ điểm A(x; y) và tọa độ B(x'; y').

b. $overrightarrow{AB}(x'-x; y'-y)$, $overrightarrow{OA}(x; y)$ và $overrightarrow{OB}(x'; y')$

AB2 = $(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}$

OA2 = $x^{2}+y^{2}$

$OB^{2} = x'^{2}+y'^{2}$

c.

$overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}= OA.OB.cosAOB$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABO có: $cosO=frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2.OA.OB}$

Suy ra: $overrightarrow{OA}.overrightarrow{OB}$= $frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2}$

= x.x'+ y.y'

Luyện tập 3: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vecto $overrightarrow{u}= (0;-5), overrightarrow{v}=(sqrt{3};1)$

Hướng dẫn giải:

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$=$0.sqrt{3}+(-5).1=-5$

$cos(overrightarrow{u},overrightarrow{v})=frac{0.sqrt{3}+(-5).1}{sqrt{0+5^{2}}.sqrt{3+1}} = -0,5$

=> $(overrightarrow{u},overrightarrow{v})= 120^{o}$.

Hoạt động 4: Cho ba vecto $overrightarrow{u}= (x_{1};y_{1}), overrightarrow{v}= (x_{2};y_{2}), overrightarrow{w}= (x_{3};y_{3})$.

a. Tính $overrightarrow{u}.(overrightarrow{v}+overrightarrow{w})$, $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}+overrightarrow{u}.overrightarrow{w}$ theo tọa độ của các vecto $overrightarrow{u}, overrightarrow{v}, overrightarrow{w}$.

b. So sánh $overrightarrow{u}.(overrightarrow{v}+overrightarrow{w})$ và $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}+overrightarrow{u}.overrightarrow{w}$.

c. So sánh $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$ và $overrightarrow{v}.overrightarrow{u}$.

Hướng dẫn giải:

a.

$(overrightarrow{v}+overrightarrow{w})$= $(x_{2}+x_{3};y_{2}+y_{3})$

$overrightarrow{u}.(overrightarrow{v}+overrightarrow{w})$ = $x_{1}.(x_{2}+x_{3})+y_{1}.(y_{2}+y_{3})$.

$overrightarrow{u}.overrightarrow{v}+overrightarrow{u}.overrightarrow{w}$ = $x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+x_{1}.x_{3}+y_{1}.y_{3}$= $x_{1}.(x_{2}+x_{3})+y_{1}.(y_{2}+y_{3})$.

b. $overrightarrow{u}.(overrightarrow{v}+overrightarrow{w})$ = $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}+overrightarrow{u}.overrightarrow{w}$.

c. $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$=$x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}$

$overrightarrow{v}.overrightarrow{u}$=$x_{2}.x_{1}+y_{2}.y_{1}$.

Suy ra: $overrightarrow{u}.overrightarrow{v}$ = $overrightarrow{v}.overrightarrow{u}$

Luyện tập 4: Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác.

a. Chứng minh rằng $overrightarrow{AH}.overrightarrow{BC}= overrightarrow{0}$ và $overrightarrow{BH}.overrightarrow{CA}= overrightarrow{0}$.

b. Tìm tọa độ của H.

c. Giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải:

a. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC, BH vuông góc với CA.

Suy ra: $overrightarrow{AH}.overrightarrow{BC}= overrightarrow{0}$ và $overrightarrow{BH}.overrightarrow{CA}= overrightarrow{0}$

b. Gọi H(x; y)

Ta có: $overrightarrow{AH}.overrightarrow{BC}=0$ và $overrightarrow{BH}.overrightarrow{CA}= 0$

Với $overrightarrow{AH}(x+1; y-2)$; $overrightarrow{BC}(0; 9)$; $overrightarrow{BH}(x-8; y+1)$; $overrightarrow{CA}(-9; -6)$

$left{begin{matrix}(x+1).0 + (y-2).9 = 0 (x-8).(-9)+(y+1).(-6)=0end{matrix}right.$

Suy ra: x = 6; y =2.

Vậy H(6; 2).

c. $overrightarrow{AB}(9; -3)$; $overrightarrow{BC}(0; 9)$; $overrightarrow{CA}(-9; -6)$

AB= $sqrt{9^{2}+3^{2}}=3sqrt{10}$

AC = $sqrt{9^{2}+6^{2}}=3sqrt{13}$

BC = $sqrt{0^{2}+9^{2}}=9$.

• Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosA=frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2.AB.AC}approx 0,61$

=>$widehat{A}approx 52^{o}$

• Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC có: $cosB=frac{AB^{2}+BC^{2}-AC^{2}}{2.AB.BC}approx 0,32$

=>$widehat{B}approx 71,6^{o}$

=> $widehat{C}=180^{o}-52^{o}-71,6^{o}=56,4^{o}$.

Vận dụng: Một lực $overrightarrow{F}$ không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B. Lực $overrightarrow{F}$ được phân tích thành hai lực thành phần là $overrightarrow{F_{1}}$ và $overrightarrow{F_{2}}$ ($overrightarrow{F}=overrightarrow{F_{1}}$ +$overrightarrow{F_{2}}$).

a. Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực $overrightarrow{F}$ (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực $overrightarrow{F_{1}}$ và $overrightarrow{F_{2}}$.

b. Giả sử các lực thành phần $overrightarrow{F_{1}}$ và $overrightarrow{F_{2}}$ tương ứng cùng phương, vuông góc ới phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực $overrightarrow{F}$ và lực $overrightarrow{F_{1}}$.

Hướng dẫn giải:

a. Công của lực $overrightarrow{F}$ là: A = $overrightarrow{F}.overrightarrow{AB}$ = $(overrightarrow{F_{1}}+overrightarrow{F_{1}}).overrightarrow{AB}$

= $overrightarrow{F_{1}}.overrightarrow{AB}+ overrightarrow{F_{2}}.overrightarrow{AB}$

= $A_{1} + A_{2}$

Với $A_{1}, A_{2}$ lần lượt là công của lực $overrightarrow{F_{1}}$ và $overrightarrow{F_{2}}$.

Vậy công sinh bởi lực $overrightarrow{F}$ bằng tổng của các công sinh bởi các lực $overrightarrow{F_{1}}$ và $overrightarrow{F_{2}}$.

b.

• Công sinh bởi lực $overrightarrow{F_{1}}$ là: $A_{1}=|overrightarrow{F_{1}}|.AB.cos0^{o}=|overrightarrow{F_{1}}|.AB$
• Công sinh bởi lực $overrightarrow{F_{2}}$ là: $A_{2}=|overrightarrow{F_{2}}|.AB.cos90^{o}= 0$
• Công sinh bởi lực $overrightarrow{F}$ là: A = $overrightarrow{F_{1}}.overrightarrow{AB}+ overrightarrow{F_{2}}.overrightarrow{AB}$

Suy ra: $A = |overrightarrow{F_{1}}|.AB + 0 = |overrightarrow{F_{1}}|.AB$ = $A_{1} $

Vậy công sinh bởi lực $overrightarrow{F}$ bằng công sinh bởi lực $overrightarrow{F_{1}}$.